Quanto tempo leva até sua cerveja esquentar, ou seu café esfriar?

Como exatamente uma tulipa de cerveja esquenta, ou uma xícara de café esfria com o tempo? Ah, a Matemática Aplicada...

A Lei de Newton do Resfriamento

Considere a temperatura T(t) de um objeto, que está em um local onde a temperatura ambiente Ta é constante.

Em poucas palavras, a Lei de Newton do Resfriamento (ou do aquecimento) diz que "a temperatura T do corpo tende a se igualar com a temperatura Ta do ambiente, a uma taxa proporcional à diferença entre T e Ta".

Ora, a diferença entre a temperatura do objeto (T) e a temperatura do ambiente (Ta) é simplesmente a subtração destes: T - Ta. A variação da temperatura é sua derivada T'. Assim, a proporcionalidade entre essas duas grandezas é dada pela equação:

  T' = -k(T-Ta)

Por que k tem sinal negativo? Observe que conforme o tempo passa, a diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente vai diminuindo. A tendência é que, após um tempo muito grande, essas temperaturas se igualem. Com isso, a temperatura T do objeto deixa de variar.

Se você souber o valor da temperatura do ambiente Ta, a temperatura inicial T(0) do objeto e a constante k, podemos montar um Problema de Valor Inicial (PVI) e descobrir qual vai ser a temperatura em qualquer instante posterior.

E a minha cerveja? Ela já esquentou?

Um lembrete: enquanto você lia o trecho acima, sua cerveja ficou horrível.

O café e a cerveja (e o tempo...)

Duas pessoas estão em um restaurante, onde a temperatura ambiente é Ta=25. Uma delas pede um café, com temperatura inicial 90, e a outra pede um chope com temperatura inicial 6. Imagine que a taxa de transferência nesse local de temperatura é k=1%. Como a temperatura de cada um desses objetos muda com o tempo?

Substituindo os valores k=1/100 e Ta=25, temos a equação 

T' = - 1/100 (T-25)

Para cada uma das temperaturas iniciais T(0) acima, temos um PVI diferente.

A família de soluções da equação acima é: T(t)=Ce^(-t/100)+25 (você pode chegar nessa resposta usando separação de variáveis).

Assim, a solução específica de cada PVI é:

Café: T(t) = 65e^(-t/100)+25

Chope: T(t) = - 19e^(-t/100)+25

Qual vai ser a temperatura de cada um após apenas 1 minuto (t=60s)?

Café após 60s: T(60)= 65e^(-60/100)+25 = 65e^(-3/5)+25

Chope após 60s: T(60)= - 19e^(-60/100)+25 = - 19e^(-3/5)+25

Como queremos saber o valor numérico dessa temperatura, podemos usar uma calculadora e encontrar (aproximadamente):

Café após 60s: 60.7 graus Celsius

Chope após 60s: 14.6 graus Celsius

Veja os gráficos das duas funções para ter uma idéia de como a temperatura cai com o tempo:

Depois de 2 minutos, só serve como desinfetante

É por isso que usamos aquele compartimento térmico para guardar a garrafa da cerveja. Ele diminui a taxa com que a temperatura é trocada com o meio. Mas lembre-se: seu copo não é térmico!

Moral da história: Como a diferença entre a temperatura da bebida e do ambiente decai exponencialmente, se você quer beber sua cerveja bem gelada, beba rápido!

Um bom final de semana a todos. E não se esqueça: Água parada dá dengue!